竞赛考研专题讲座10：多元函数微分法的几何应用、极值判定相关的知识点、题型及求解思路与方法

本讲讨论的主题是多元函数的几何应用，多元函数的极值与最值；这两部分也是涵盖多元函数微分学内容的考试中重点考察的内容和出现频率最高的内容之一。所以对于相关的知识点、方法与题型要熟练掌握，并且能够灵活运用。

一、多元函数的几何应用

多元函数的几何应用主要包括二元函数偏导数的几何意义，方向导数的几何意义、梯度的几何意义，空间曲面的切平面与法线、空间曲线的切线与法平面。其中前面两个是空间曲线的切线的特殊情况。

1、二元函数偏导数的几何意义

关于 的偏导数，就是空间曲线 在点 处的切线关于 x 轴方向的切线的斜率，或者说是与 轴正向同向的切线的方向向量与 轴方向的夹角的正切函数值。

同样，关于 的偏导数，就是空间曲线 在点 处的切线关于 y 轴方向的切线的斜率，或者说是与 轴正向同向的切线的方向向量与 轴方向的夹角的正切函数值。

2、方向导数的几何意义

方向导数就是过点 ，也就是图中曲面上点 ，与点它在 面上的投影点 ，且平行于向量 的平面与二元函数 描述的曲面的交线，在点 的切线对 方向的斜率，也就是平面与曲面在 点的切线与 方向同向的切向量，与向量 的夹角的正切值。

3、梯度的几何意义

梯度的方向也是二元函数描述的等值线，三元函数描述的等值面的法线的方向向量。即二元函数 在 处的梯度向量也就是平面曲线 在 处的法线的一个方向向量；同样，三元函数 在 处的梯度向量也就是空间曲面 在 处的法线的一个方向向量.它们都指向函数值增加最快的方向。

是 描述的等值面(线)在点 处的一个法线的方向向量，指向函数增大的方向.

4、空间曲面的切平面与法线

当曲面由一般式方程 描述的时候，其在任意点处的法向量为

因此，由求得的指定点处的法向量和点的坐标，就可以直接写出切平面的点法式方程和法线的点向式方程。故曲面指定点处的切平面方程为

依据直线的点向式方程，也就可以得到法线的方程为

当曲面由二元显函数 描述时，这是一般方程的特殊情况，可以写成

故曲面在点 处的切平面的法向量可以取为

当然负的也可以。此时曲面在点 的切平面方程为和法线方程为

当曲面由参数式方程描述时，

设 上的点 对应的参数值为 ，函数 在 处可微，则由曲面在给定点处切平面的唯一性，令曲面的参数方程的参变量中的其中一个参变量，分别为曲面上指定点处，比如这里的 点，对应的参数值 ，得两个关于一个参变量的两个参数方程.

它们是两条分布在曲面 上，并且经过 点的两条曲线。曲线在参数对应的曲线上的点处的切向量，

这样，只要两个向量的向量积不等于 ，曲面在点 点的切平面的法向量就可以取为

有了切平面的法向量，还有点 的坐标，根据切平面的点法式方程和法线的点向式方程就可以直接得到切平面与法线的方程了。

关于曲面的切平面与法线方程更详细的探讨，也可以查阅第六届全国大学生数学竞赛初赛非数学专业真题解析在线课堂，课程中结合更多的实例，对于这些方法与思路进行了详细的分析与探讨。如果希望更加深入的了解，可以查阅第六届竞赛的填空题第 2 题的 3 个视频片段仔细体会!

另外，在第八届、第一届、第十一届中也有且切平面方程的竞赛题、对应的在线课程中也进行了详细的分析与探讨。比较有意思的是，第八届的竞赛题是第一届一模一样的题目；在非数学类的决赛中，第四届、第五届、第七届都出现了单独的求切平面的竞赛题，其中 【2016 年第七届非数学类决赛】的竞赛题，就是咱们第六届这个竞赛题解析视频中扩展性分析一模一样的例题! 也就是说，咱们的在线课程的教学内容不仅仅围绕竞赛真题展开，而是在扩展相关思路、方法的时候还会补充、例举一些其他典型性的题目进行分析与探讨，以 加强对相关内容的理解。

5、空间曲线的切线与法平面

当空间曲线由参数方程

描述时，这个非常简单和直接。曲线在参数值 对应的点处的切向量，就是三个参数函数关于参变量的导数在 点的值构成的向量，它也是曲线在该点的法平面的法向量。这样，由点的坐标和切向量，就可以直接写出切线的点向式方程和法平面的点法式方程。

要注意的是，如果切向量分量个别为 0 时，则理解为分子为 0 . 比如，如果 ，则切线方程为

构成的方程组描述的直线；而当 时，则切线方程为

当空间曲线由一般式方程

描述时，也就是把曲线看成是两个曲面的交线。对于由两个三元方程组构成方程组，通过解方程组，可以将其中的两个变量用另外一个变量描述。比如分别取 为自变量时，切向量可分别取为

当然这三个只要一个成功计算得到就可以了。有了切向量，当然根据点的坐标就可以写出切线方程与法平面方程了。

另外，切线也可以视为是两曲面在指定点处的切平面的交线，即曲线在点 处切线的方向向量与两曲面在该点的切平面的法向量垂直 ！所以切线的方向向量就可以取为

二、多元函数的极值与最值

在讨论多元函数的极值与最值的判定与计算之前，先明确几个概念和关系：

1、极值的概念

在极值的概念中强调为去心邻域，函数在某邻域内有定义，当该去心邻域内的所有的点都满足小于邻域中心点的函数值，则中心点的函数值为函数该邻域内的极大值，对应的中心点也就为极大值点；当该去心邻域内的所有的点都满足大于邻域中心点的函数值，则中心点的函数值为函数该邻域内的极小值，对应的中心点也就为极小值点；如果在中心点的任何去心邻域内，即有大于中点函数值的点，也有小于中心点函数值的点，则函数在中心点位置不取极值。

用定义来判定函数在给定点，是否在包含该点的邻域为极值点，是极值判定的最基本方法，也是对函数要求最低的方法。

对于可微函数，如果函数在某点的梯度为零，即关于所有变量的偏导数都等于 0 ，则这样的点称为函数为的驻点，或者稳定点。可微函数的极值点为驻点，也就是在极值点处函数的所有偏导数都等于 0 ；但是驻点不一定是极值点；对于那些不取极值的驻点也称为函数的鞍点。可微函数描述的曲面在极值点对应的曲面上有水平的切平面，方程就为 等于极值。

2、梯度、黑塞矩阵与泰勒公式

对于多元函数的一阶偏导数，一般有几个变量就有几个，我们把由函数的所有变量的偏导数，按照变量的前后顺序排列构成的向量，也就是梯度，形象地称为多元函数的一阶导数；类似的方法，称由多元函数的所有的二阶偏导数构成的矩阵为多元函数的二阶导 数，也称为黑塞矩阵。

有了多元函数的一阶、二阶导数，也就容易推广一元函数的泰勒公式，得到多元函数的泰勒公式。通常用到的多元函数的泰勒公式有一阶带拉格朗日余项的泰勒公式和二阶带皮亚诺余项的泰勒公式。多元函数的泰勒公式在形式上与一元函数的泰勒公式差不多，不同的是，它们的乘积项变成了向量与向量、向量与矩阵之间的乘法运算。

类似有零阶带拉格朗日余项的泰勒公式和一阶带皮亚诺余项的泰勒公式，和一元函数一样， 0 阶带拉格朗日余项的泰勒公式就是拉格朗日中值定理。

当函数在包含 的邻域内存在有一阶连续偏导数的时候，则有二元函数的拉格朗日中值公式。从中值的取值表达式中可以看到， 是 和 连线上的点。所以这里也特别注意，这里讨论的泰勒公式与这里的拉格朗日中值定理，范围都是邻域，一般也就是圆形邻域、球形邻域，也就是到定点，比如这里的 对应的点，的距离小于某个常数的所有点构成的集合。这样，邻域内的任意两点的连线都位于邻域内!

【练习题】：设 在 上连续，在 内有二阶连续的混合偏导数，又

且 . 证明: .

【提示】：对 ，有拉格朗日中值定理，存在有 ，使得

在极值的判定中经常用到黑塞矩阵的正定性的判定，它是在高等数学、数学分析中常用的、相对比较简单实用的判定方法。 对称矩阵 正定的充要条件是所有顺序主子式为正.

0, \quad\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|>0, \quad \cdots,\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|>0 ">

对称矩阵 负定的充要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正.

0,(r=1,2, \cdots, n) ">

如果以上不等式有等于 0 的情形，则为 半正定、半负定矩阵，否则为不定矩阵。对称矩阵 正定的充要条件是所有顺序主子式为正. 也就是矩阵左上角的从第一个元素开始依次构成的 1 到 n 阶的行列式的值都为正，则为正定矩阵；对称矩阵 负定的充要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正。如果以上不等式有等于 0 的情形，则为半正定、半负定矩阵，否则为不定矩阵. 一般来说，只要偶数阶顺序主子式为负，则为不定矩阵。

除了这个判定矩阵正定、负定的方法，还有一个判定方法也是比较常用:

• 为正定的充要条件是:

• 为负定的充要条件是:

• 为不定的充要条件是:

利用黑塞矩阵正定、负定的结论，可以立即判定出可微函数在驻点处是否取到极值。 比如， 正定， 为 的驻点，如果 ，

0, ">

则由函数的一阶带拉格朗日余项的泰勒公式

由于梯度为 0 ，余项大于 0 ，马上就可以得到 , 即函数在 处取极小值。

这个判定方法在第九届全国竞赛非数学初赛的一个竞赛大题中也曾经出现过。这个题目，基于复合函数求导法则求得函数 一阶、二阶导数，也就是梯度、黑塞矩阵的基础上，再基于对任意角度 构成的向量，所满足的等式与不等式条件，不仅判断出原点是驻点，而且判定出它为极小值点。在这届的真题解析在线课程中，不仅仅给出了这个题目的思路详细 分析、探索过程，而且还给出了另外的，直接基于泰勒公式的思路与方法。它的证明过程，也可以说判定一元函数在驻点处取到极值的第二充分条件，即二阶导数不等于 0 的结论，的证明的推广。 对于这个竞赛题的思路、步骤的详细分析、探讨，如果希望对相关的方法有更深入的了解，希望知道具体怎么去用，怎么想到用它们来解相关的问题，可以直接查阅第九届全国初赛真题解析课程中，第二大题对应的两个视频就可以了。

3、极值的判定充分条件与步骤

如果函数 在 处具有二阶连续偏导数，且 为驻点，记 为 在 处的黑塞矩阵。

(1) 如果 正定，则 为 的极小值点;

(2) 如果 负定，则 为 的极大值点;

(3) 如果 不定，则 为 的鞍点;

(4) 其他情况另行判定. 一般使用定义法来判定!

这是一般判定驻点是否取极值的充分条件，在很多高等数学教材中给出的一般不是这个形式。而是通过引入记号 ， ， 是二元函数直接利用二阶导数。

定理(充分条件)若 在点 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且

记 ，则

(1) 当 时，有极值

时 取 极 大 值 时 取 极 小 值

(2) 当 时，不取极值，为戦点.

(3) 其他情况，需另行讨论.

由此，咱们也就可以给出无条件极值，也就是仅仅有定义域限制的极值判定与计算的一般步骤:

求多元函数极值的步骤(无条件极值):

(1) 求出所有可能的极值点(驻点、不可导点);

(2) 求所有的二阶偏导数;

(3) 应用充分条件逐点判定极值点、鞍点，对极值点求出极值

【注】对二阶偏导数不存在的点，或者充分条件失败的点，应用定义判定.

对于有条件极值，一般采用拉格朗日乘数法与降维的无条件方法。拉格朗日乘数法就是通过构建拉格朗日函数，将问题转换为无条件极值来求极值点的方法。拉格朗日函数主要由两部分相加而成，一个是需要求极值的目标函数表达式，一个是参数乘以条件方程标准形式的右侧函数表达式，也就是将条件等式移项，使得右侧为零，则左边的表达式就是参数相乘的表达式。有几个条件就有几个参数相乘项。

比如第一个拉格朗日函数，就是求在 的约束下，二元函数 的极值； 第二个拉格朗日函数， 就是求在两个方程

的约束下，三元函数 的极值。

拉格朗日乘数法是一种增加变量个数来探讨极值的方法，所以判定函数在指定点是否取到极值相对来说比较复杂一些。而代入无条件方法则是减少变量的方法，它是通过约束条件解出变量之间的关系式，然后一个，或两个变量用其余变量表示后代入目标函数来求极值的方法。

不过一般包含条件极值的问题都是求最值问题，这个时候一般就不需要判定，根据最值的求解思路与方法，只要求出所有可能取到最值的点的坐标，然后比较所有这些可能点的函数值，最大的就是最大值，最小的就是最小值就行。这个和一元函数的思路基本是一样的。对于多元函数最值的计算，不仅仅用来计算最值，当然利用求最值的思路，也可以用来验证多元函数的函数不等式或常值不等式。

同样，多元函数的泰勒公式，除了推导出判定多元函数极值的充分条件外，作为联系多元函数及其一阶偏导数、二阶偏导数的桥梁，也可以用来验证包含函数、一阶偏导数、二阶偏导数相关的命题。比如 【第七届非数学类预赛第六题】： 二重积分不等式的证明，通过这个竞赛题的解析过程，回顾了二元函数泰勒公式应用于解题的思路和二元函数的一般的泰勒公式，同时也回顾、总结了这个题目求解过程中涉及的一些知识点与方法，比如二重积分极坐标计算法，向量的数量积的不同描述形式以及在该题中的应用等式。 具体可以查阅第七届的真题解析在线课程。

关于多元函数微分法及其应用的基础性的知识点总结，题型及其求解方法与基础练习题可以参考推文：；而其中例举到的全国大学生数学竞赛题可以参考公众号推文：.

以上就是咱们今天探讨的内容，与之相关的更多的典型问题及详细的求解思路与方法可以参考）或中专题练习。

感谢学友们的阅读、关注与支持，咱们下期再见!