一个银币：隐藏着东西方数学故事

在微积分展区的神秘角落，

一枚古银币静静地躺着，

它看似平凡，却大有来头。

每一道纹理、每一个符号

都在诉说着数学发展历程中的传奇故事，

从微观到宏观、从离散到连续、

从有限到无穷的伟大思想征程，

下面是这个二进制银币的故事

1与0，一切数字的神奇渊源。

这是造物美妙的典范，

因为，一切无非都来自上帝。

从一枚古银币谈起

1697年元旦，莱布尼茨写了一封信给鲁道夫·奥古斯都公爵。

写信的同时，他赠送了一颗自己制造的银币给公爵，这颗银币的出现，真正预示着二进制的诞生。

银币的正面当然是公爵帅气威风的肖像，这是为了获得“科研经费”必须做出的妥协。

反面是一则创世故事：水面上笼罩着黑暗，顶部光芒四射……中间部分雕刻的是从1到17的二进制数学式。

考虑到公爵的智商，文笔晦涩的莱布尼茨讲述了他构思的一枚题为“造化之象”的纪念币：全能的上帝从无创造有。现在我们可以说，数字的起源是世上能最好展示和说明这种力量的事物，它以“一”和“零”或者说“无”的形式呈现，既朴素又简练。

银币上面刻着十进制与二进制的对比状态：

十进制 二进制

0 0

1 1

2 10

3 11

4 100

……（以此类推）

13 1101

14 1110

15 1111

16 10000

17 10001

从这一天起，现代数学意义上的“二进制”诞生了。

1

十进制PK二进制

牛顿与莱布尼茨的对话

牛顿实在是看不下去了，你丫为了骗“科研经费”，又开始忽悠领导了。

作为莱布尼茨的老对手，牛顿这次放出话来要正面KO死莱布尼茨。

老祖宗传承下来的十进制不是用得好好的吗？搞个二进制出来完全是制造社会混乱，混淆人类视听，可惜英国的警察不能跨省去德国，否则早就把这厮抓回剑桥整成神经病。

我都用它推导出万有引力来了，还有什么事情十进制搞不定？

莱布尼茨心里也正窝着火呢，PK就PK，关于微积分的事情，你丫多次“洗我的稿”还没时间找你呢，正好一起算总账。

PK正式开始：

牛顿：你丫凭什么说二进制比十进制更简洁？

莱布尼茨：上帝只用二根手指就可以搞定一切。

牛顿：你确定两根手指可以演算世间万物？

莱布尼茨：你看看我这张东方的康熙皇帝赐予的“先天八卦图”就明白了。

牛顿吓了一大跳，我靠，这丫背景很硬，连东方的皇帝都搞上关系了，我得小心。

牛顿认真研究了下《莱布尼茨——二进制与伏羲八卦图考》，作为具有大智慧的人物，牛顿恍惚有些明白，他心中怦怦直跳，莱布尼茨这丫看来又要搞大事啊。

牛顿当然不会认输：可二进制与十进制比，在计数上没什么太大意义。

莱布尼茨：计数上意义不大，但它具有逻辑性，“零”表示“无”，“壹”表示“有”，我的二进制不是代数运算，而是数理逻辑运算。

…………（这个有点难，牛顿花了点时间才算整明白）

牛顿：可这二进制实在太麻烦，完全没有办法制造机器运算。

莱布尼茨：我这个又不是给你用，我这个是给计算机准备的。

牛顿傻眼了：计算机是什么玩意儿？

莱布尼茨：说了你也不懂，那是200多年后的宝贝。

牛顿气得口吐白沫：就不能好好说个话吗？

莱布尼茨：没办法，你代表的是古典十进制，我代表的是未来的二进制。

2

为什么计算机只爱“二进制”

人类天生有十个手指，自然也就有了十进制。

在亚马逊边上打渔回来分食人鱼，所有人伸出十个手指，基本够用。

那数字到底怎么表述呢，人类毕竟是视觉动物。

东方的圣贤说：零一二三四五六七八九十……

西方的大哲说：one,two,three,four,five,six,seven,eight,nine,ten.....

两者争得不可开交时，从沙漠赶来的阿拉伯人翻译道：还是用我们的0123456789吧。

经过上千年的折腾，人类基本达成了一致，看在真主的份上，那就用阿拉伯数字。

但到了计算机时代，计算机怎么识别0123456789呢。

伟大的冯诺依曼为这事一脸愁容，折腾了一年，才发现问题出在十进制。

这时候一个聪明人想到了：电这东西其实可以表示很多状态，比如用电流来表示数字，0~0.9A表示0，1A表示1，2A表示2，3A表示3。想到这里，聪明人开始自我表扬了，这世界上还有难题可以击倒我吗？！

冯诺依曼翻了个白眼，这个还需要你提醒吗，这毕竟是1945年，二次大战还没有完全结束呢，这个时候的电子元件根本无法让电流变得非常稳定。

聪明人表示了不满：这都控制不了，搞什么科学研究。

冯诺依曼心中有一万匹草泥马跑过：you can you up, no can no bb！

其实这还不是冯诺依曼最担心的，最让人焦虑的是图灵提出来的“计算思想”的问题，就算用电流计算的方式表示出10个状态，也没有办法让电脑真正思考啊。毕竟电子计算机除了计数之外，还有判断对错的问题。

这个晚上，冯诺依曼做出一个重要的决定，根据电子元件双稳工作的特点，在电子计算机中采用二进制。

3

二进制的计算原理

我的智商有限，让诸葛亮先生来告诉你二进制的计算原理。

诸葛亮为了北定中原兴复汉室，亲自驻守西城，此时的司马懿兵强马壮，诸葛亮派爱将马谡驻守街亭，与西城首尾相望。

街亭山高谷深，地势险要，为兵家必争之地，进可攻关中，退可守陇右。

诸葛亮叮嘱马谡：魏军若来100人，你就点亮1盏“孔明灯”通知我，我想清楚知道魏国来了多少敌军，我派王平和赵云做好准备，这次必将活捉司马懿。

马谡脑瓜儿挺机灵：丞相我懂了，若是敌人来了100个，我就放飞1盏孔明灯。若是敌人来了1000个，我就放飞10盏孔明灯。若是敌人来了10000个，我就放飞100盏个孔明灯。若是敌人来了100000个，我就放飞1000盏孔明灯。

诸葛亮差点跳起来：你以为孔明灯那么好做，放飞250盏孔明灯，你知道要多少军费吗？今天下三分，益州疲弊，你还这么浪费。

马谡脑眼珠一转：丞相我懂了，敌人来了一个，我就点亮一次，这样的话，我就只需要1盏孔明灯了。

诸葛亮长叹了口气：幼常啊，你想一想，我现在快五十岁的人了，又近视得厉害，你认为我能够看得清楚你点了多少次吗？而且你这点来点去的，中间万一数错了呢？

马谡这下傻眼了：丞相，求答案。

诸葛亮摇了摇羽毛扇：你得学学二进制，多安几盏孔明灯，你把它们装在街亭最高处，但注意，必须以同样的距离排列。

马谡完全糊涂了：丞相，什么是二进制？

诸葛亮摇了摇羽毛扇：二进制，乃天人之学也。

两人耳语甚久，马谡似懂非懂，最终拜服，丞相乃天人也。

诸葛亮道：现今你明白了二进制，只须排列好10盏灯，就可以将敌情准确上报。我在西城定好位置，按照定好的方位观察亮灯的位置，就可以运筹帷幄。

0000000000，8盏灯全灭，说明无敌军来犯。（状态0）

0000000001，第一个位置亮了灯，来了100个敌人，你负责干掉他就行了。（状态1）

0000000010，第二个位置亮了灯，来了200个敌人，小菜一碟，街亭无忧。（状态2）

0000000011，第一二位置都亮了灯，来了300个敌人，也不是什么大事。（状态3）

0000000100，第三个位置亮了灯，来了400个敌人，派出小股军队灭了他们。（状态4）

0000000101，第一三位置都亮了灯，来了500个敌人，得小小注意下了。（状态5）

诸葛亮担心马谡还是没有真正地听明白，特意给了他一张密码对照表，按照这个密码表，点起孔明灯就是了。

附表：

10进制编号 灯泡表示

状态 1 0000000001

状态 2 0000000010

状态 3 0000000011

状态 4 0000000100

状态 5 0000000101

……（以此类推）

状态 996 1111100100

状态 997 1111100101

状态 998 1111100110

状态 999 1111100111

状态 1000 1111101000

这就是二进制的基本工作原理，说实在的，确实比十进制有用多了。

4

《周易》和二进制

很多人谈到二进制，就会说起中国的《周易》。

还有一些人迷信：因为白晋给莱布尼茨看了中国的先天八卦图，莱布尼茨才创造了二进制。

在很多人眼中，中国传统文化就是这么所向披靡，无往而不胜。

事实上，莱布尼茨在没有看到先天八卦图前的1697年，就已完成了论文《二进制算术》的草稿，也就是他在向公爵忽悠“科研经费”时已经完全搞定论文。古代的科学家真是非常敬业，有了成果后才好意思要经费。莱布尼茨详尽说明了“二进制”算术原理，而且还给出了加、减、乘、除四则运算的规则。

1701年，莱布尼茨心血来潮想巴结下东方的帝王，给自己找条后路，毕竟那时候的西方世界被牛顿给统治了。他听说康熙皇帝喜欢数学，就给在北京的法国传教士白晋的信中，阐述了“二进制”的算术规则，并希望白晋将“二进制”介绍给康熙皇帝。收到信的白晋感觉莱布尼茨的“二进制”似乎与中国的八卦图形有某种联系，比如八卦中的阴爻“——”就像“二进制”中的“0”，阳爻“——”就像“1”。于是他在回信中说明了自己的这个想法，并且把一幅“伏羲六十四卦方位图”一并寄回。这才是《周易》和二进制相遇的原因，传教士真是个好东西。

莱布尼茨见到那张六十四卦图已是1703年，收到东方帝王关照的莱布尼茨兴奋不已，很快就在法国科学院院报上发表了自己那篇关于“二进制”的文章，题目就叫《关于只用两个记号0和1的二进制算术的解释——和对它的用途以及它所给出的中国古代伏羲图的意义的评注》。

中国的八卦符号分为连续的与间断的横线两种。这两个后来被称为“阴”、“阳”的符号，在莱布尼茨眼中，就是他的二进制的中国翻版。莱布尼茨完全是以个人的杰出才华，依靠一己之力推演出二进制。

二进制是最完美的逻辑语言

2018年，在德国图灵的郭塔王宫图书馆里，仍然保存着一份珍贵手稿，其标题为：“1与0，一切数字的神奇渊源。这是造物美妙的典范，因为，一切无非都来自上帝。”这是天才莱布尼茨的手迹。

二进制最适合逻辑运算，它只有两个数码，正好与逻辑代数中的“真”和“假”相吻合。二进制两个数码正好与逻辑命题中的“真（True）”、“假（False）”或称为”是（Yes）”、“否（No）”相对应。

200多年前，没有谁明白二进制的伟大，唯有莱布尼茨一眼就洞穿数理逻辑的终极奥义，当现在回溯AI的起源时，有些人将莱布尼茨视为真正的鼻祖。

如果看到今天二进制在人类文明中所占据的位置，

莱布尼茨可以对着遥远的东方重复他曾经说过的话：

二进制乃是具有世界普遍性的、最完美的逻辑语言。