如何理解曲线积分的概念

如何理解曲线积分的概念

——数学科普

在实际的工作和学习中，我们常常会遇到曲线积分。比如在《电磁学》、《流体力学》、《复变函数》和《场论》中等的里面。曲线积分是工作和学习中很重要的一个概念。不理解这个概念，在电磁场中的那几个关键的公式，我们也就无理解了。

许多人都说学习数学很难，其实学习数学的关键点在于“思维方式和数学方法”的问题。但是有些环境问题我们无法左右，比如做习题和考试。尤其是一些习题那是无底洞，习题是无边无际的。尤其是一些偏题怪题，也就是“脑筋游戏”对于继续学习数学毫无意义。但是习题不做不行啊，必须做。不考试也不行，不考试你进不了大学，你无法毕业啊。

习题要做，考试还得应付，但是千万不要成了做题的机器和考试的工具。

现在数学界有一个误区，给人们的宣传是搞数学的都是“傻里吧唧”的白痴，什么也不会，连讲课都不行，但是可以是“数学天才”。这不是胡闹？其实数学思维需要天文、地理和自然界的许许多多的知识的贯通，可以触类傍通的综合思考。所以搞数学不能偏科，不但数学要学好，语文、物理、化学、生物、逻辑、艺术等等都应该好。这个世界上所谓的“白痴数学家”仅仅是亿万分之一，或着根本就不存在。要讲一些数学家有“精神”问题，还是有可能的。

曲线积分很重要，理论和工程、机电专业都用得上。我们首先知道定积分是什么？用白话讲就是：“微量的叠加聚合”。用数学几何讲就是：“曲线下的面积的和”。也就是一个函数在x的区间内，函数y的总合量。那么曲线积分就是定积分的应用，仅仅是自变量的区间可以看成是在一条曲线上。注意，看成是在一条曲线上。

比如一把长刀，从靠近刀把一端开始的刀身，它的宽窄是不均匀的，是变化的。如果把“单位长短的重量”看成密度，那么重量与长度的变化就是一个“函数”。但是这个函数可能是各种各样的，甚至是间断的，也可能无法用初等函数来表示。我们的研究范围是必须是“初等函数”的。而这些可以表示“密度”的函数，可以在“直角坐标系”中用一段曲线来表示，在这段曲线上积分就是“曲线积分”了。其实还是定积分的应用，但是这个概念在工程技术中很重要。

比如有一座高塔，下面粗，上面细。我们可以得到塔最下面的面积，知道塔的高度，我们就可以画一个圆锥体。然后近似计算它每米大概的重量，最后用曲线积分计算出塔的整体重量（近似值）。

曲线积分适用于电流、水流、电磁场等等。

数学最重要的就是要把数学概念理解透，而这个理解透需要“知识的综合”，千万不能偏科。你的数学概念清楚了，看《数学手册》就会觉得很简单，但是不一定会做题。做习题可是苦功夫，永远做不完。问题是概念不清楚，会做习题，知道技巧，但是恐怕不会数学应用，也难以对数学有开拓进取的研究结果。

不是反对做习题，而是必须先把数学概念理解透。概念理解透了，学习新的数学知识就会感到很轻松，理解很快。概念不清楚没学习新的数学知识时就会晕头转向，理解不了，不知道是为什么这样表示数学。比如，一些人学习《复变函数》，对“数对”理解不了。其实就是平面上的一个坐标点。理解了“数对”的感念才明白“复数”的加减乘数是什么。这是《复变函数》最基础的概念，就是在一个平面上的“运作”。

对于“素数对”也一样。素数对的出现的原因是2是一个素数，而它的“合数数列”是2K+2 ，它的合数出现的周期就是2。必然会有两个“素数的空位”出现，而形成“素数对”。而这个素数对也是平面上的“复数”，可以用6N±1来表示。

这需要两个前提：在“多维自然数空间”2N+A和6N+A里面分别研究。

有什么意义，我也不知道。

数学就这样，有时看不到它的意义，许多年后人们才发现很有实用价值。

2024年12月19日星期四