数学悖论系列之十（无穷小的悖论)

数学悖论系列之十（无穷小的悖论)

十、无穷小的悖论(the paradox of the infinitesimal)

引入数轴、位置数系、负数、零、有理数和无理数、无穷小、极限、基数和序数、连续统假设、一致性和完整性问题以及非标准分析等思想，是数学的主要里程碑。这些令人印象深刻的研究工作。如今，关于这些主题的研究仍然非常活跃。

在现代数学中，无穷小的概念是指极小的东西，接近于零。它描述的量非常小，以至于不能用标准方法测量，通常用来表示接近零的量。

无穷小悖论的答案是什么？这个悖论与测度的可加性有关；特别是天真地从有限可加性切换到无限可加性。

一般来说，当你从有限转换到无限时，事情必须改变。当你有无限多的部分时，我们不能再证明测量的可加性，因为你不可能通过多次把整体分成有限多的部分来达到无限多的部分。

先验地，当你有无限多的部分时，甚至可能没有一个合理的可加性的概念！然而，经验表明，至少在研究连续统时，可加性可以扩展到可数的许多部分。

也就是说，如果你把一个整体分成可计数的多个部分(并且以可测量的方式)，你可以期望整体的度量是各个部分的度量之和。注意,“和”必须是微积分中无穷和的意思，例如作为部分和的极限。

本文探讨二个著名的无穷小悖论：橡胶绳上的蚂蚁悖论（the Ant on a rubber rope paradox）、伯克利悖论（Berkeley paradox）。

（一）背景(前沿)知识

1.现代集合论

之前的《数学悖论系列之六（选择公理的悖论）》中已经介绍过ZFC：有选择公理的集合论(ZFC)，是一个公理系统，用于正式定义集合论。具体来说，ZFC是大约9个公理(取决于惯例和精确的表述)的集合，它们一起通过集合论的使用定义了数学的核心。虽然ZFC是现代集合论的典范，但是在数学领域还有其他理论也有市场。在这里再简单介绍其余的六个。

（1）SP

SP是Dana Scott的集合论公理化的一个版本——因此是Scott-Potter集合论。这种公理化是由建立在层次上的集合论宇宙的概念有意识地引导的(这个概念，据说，也保证了ZF的公理)。SP旨在揭示的是，我们可以得到一个丰富的集合层次结构，对于数学目的来说绰绰有余，而无需把自己托付给整个ZFC。

（2）NBG

我们知道ZFC集合的宇宙本身不是一个集合——但它难道不是某种集合吗？那么，我们是否应该认识到两种集合，集合和(业内称之为)适当的类，它们“太大”而不是集合？NBG(以冯·诺依曼、伯奈斯、哥德尔命名)就是这样一种集合理论。因此NBG识别正确的类，即有成员但不能是其他实体成员的对象。NBG的理解原则是谓词性的；定义公式中的量化变量只能在集合上变化，我们得到了ZFC的保守扩展(集合语言中的任何东西都不能在NBG中得到证明，而在ZFC已经得到证明)。

（3）ZF- + AFA

ZF- + AFA这里又是我们熟悉的集合宇宙的迭代概念。我们从一些非集合开始(在纯集合论的情况下可能是零)。我们将它们收集成集合(尽可能多的不同方式)。现在，我们收集已经形成的集合(尽可能多)。基础公理是引人注目的(任何由集员关系链接的向下链都将触底，而不会绕成一个圆圈)。然而，这是集合宇宙的另一个概念。它(可以说)指向它的成员。那些成员指向他们的成员，诸如此类。在这张“自上而下”的领地上，基础公理并不那么令人信服。

众所周知，在ZFC内部的数学发展中，基础公理通常是非决定性的。那么，考虑一个具有反基础公理的集合理论，它允许自成员集合，会怎么样呢？

（4）NF

从ZF大幅度撤离的后果产生了NF(“新基础”)集合论。因标准集合论缺乏一个普适的集合，因为与其他标准假设一起，存在一个所有集合的集合的想法导致矛盾。但是通过解释动机并修补那些其他的假设，完善技术细节就有了关于宇宙集合的连贯理论。

（5）IST

莱布尼茨和牛顿在17世纪60年代发明了无穷小量微积分：一个半世纪后，我们学会了如何在不调用无穷小量的情况下严格化微积分。尽管如此，无穷小的概念有着强烈的直觉吸引力，在20世纪60年代，亚伯拉罕·罗宾逊创建了超实数理论：这产生了无穷小微积分的严格形式化处理。后来，爱德华·纳尔逊基于所谓的内部集合论发明了一种更简单、也可以说更自然的方法：IST是策梅洛-弗兰科尔集合论的扩展，除了基本的二元隶属关系，它还引入了一个新的一元谓词标准，该标准可以应用于数学世界的元素，以及一些用这种新谓词进行推理的公理。以这种方式开始，我们可以在一个更简单的框架中恢复罗宾逊理论的特征。

（6）ETCS

ETCS 著名的是，策梅洛通过收集一些集合理论推理的原理来构建他的集合理论，这些原理看起来实际上被工作的数学家所使用(例如，从事分析的严谨化或点集拓扑的发展)，希望得到一个对于数学应用来说足够强而对于避免悖论来说足够弱的理论——集合范畴的基本理论。

2.无穷小概念

连续就是构成一个不间断的整体：连续统——没有“间隙”，这意味着统一。与连续统相反的是离散性：离散就是分离。虽然不分割是连续统的基本性质，但人们普遍认为（尽管并非总是如此）任何连续统都允许无限制地重复或连续划分。这意味着将其分成越来越小的部分的过程永远不会终止于不可分割的部分。即连续统是无限可分的。

与连续统的概念密切相关的是无穷小的概念。无穷小的量级在某种程度上被模糊地设想为“在渺小中看”的连续统，是连续统的“终极部分”。在某种意义上，就像一个离散的实体由它的各个单元、它的“不可分割的”组成一样，因此，它被维护为，一个连续统是由无限小的大小“组成”的，即它的终极部分。

连续统的“连贯性”意味着它的每个（连接的）部分也是一个连续统，因此，是可分割的。由于点是不可分割的，因此任何点都不能成为连续统的一部分。无穷小的大小，作为连续统的一部分，必然不能是点：它们，一句话，非点状。

无穷小数是指虽然与零不一致，但在某种意义上比任何有限数都小的数。这种意义通常被认为是未能满足阿基米德原理，这相当于说一个无穷小的数字是，无论它与自身相加多少次，结果仍然小于任何有限数。在工程师对微积分的实际处理中，无穷小是一个非常小的数字，以至于它的平方和所有更高的幂都可以忽略不计。在极限理论中，术语“无穷小”有时适用于极限为零的任何序列。

无论它在实践中多么有用，无穷小的概念几乎经不起逻辑审查。在 18 世纪被伯克利嘲笑为“死亡数量的幽灵”；在 19 世纪被康托尔斥为感染数学的“霍乱杆菌”；在二十世纪被伯特兰·罗素严厉谴责为“不必要、错误和自相矛盾”；这些有用但在逻辑上可疑的实体被认为最终在分析的基础上被极限概念所取代它：在 19 世纪下半叶采取了严谨而最终的形式。到 20 世纪初，无穷小的概念至少在分析中已经成为一个虚拟的“非概念”。

在过去的几十年里，无穷小概念在坚实的基础上重新建立，通过两种本质上不同的方式实现的，一种是提供了无穷小数概念的严格表述；另一种是无穷小的大小。

无穷小是由艾萨克·牛顿引入的，作为“解释”他的微积分过程的一种手段。在极限的概念被正式引入和理解之前，不清楚如何解释微积分的工作原理。本质上，牛顿将无穷小视为一个正数，它比任何正实数都要小。事实上，正是数学家对这种模糊概念的不安，导致他们发展了极限的概念。

在19世纪，通过摒弃无穷小和用极限定义导数解决了这些问题。这样，没有无限小的量被使用，甚至被提及。相反，随着测量之间的时间间隔变得越来越小(但不是零)，像瞬时速度这样的量由有限比率的极限来定义。德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯将极限技术变成了标准形式，通常被称为ε-δ方法，这是根据习惯上在极限定义中使用的两个希腊字母命名的。

由于理查德·戴德金把实数定义为“割”，无穷小的地位进一步下降。切割将实数线分成两组。如果存在一个集合的最大元素或另一个集合的最小元素，那么割定义了一个有理数；否则割定义了一个无理数。作为这个定义的逻辑结果，在零和任何非零数之间有一个有理数。因此，实数中不存在无穷小。

这并不妨碍其他数学对象表现得像无穷小，20世纪20年代和30年代的数学逻辑学家实际上展示了如何构造这样的对象。一种方法是使用库尔特·哥德尔在1930年证明的关于谓词逻辑的一个定理。所有的数学都可以用谓词逻辑来表达，哥德尔证明了这种逻辑具有以下显著的性质（图108）：

图 108

大约在1960年，美国数学家亚伯拉罕·罗宾逊证明了实数集如何以一致的方式扩展到无限小和无限大的量。他把扩展的系统称为超实数，基于它们的新的微积分方法变成了非标准分析，非标准分析为一些基本定理提供了更简单的证明。这是莱布尼茨问题的一个完整而令人满意的解决方案：无穷小又回来了。

在此后的四十年里，随着对非标准分析理解的加深，更多的调查和研究已经完成。涉及无穷小的新的替代数字系统已经在使用，包括康威的超现实数字和贝尔的幂零无穷小。匈牙利数学家保罗·埃尔德什(Paul Erdö)认为“有充分的理由相信，非标准分析在某种程度上将成为未来的分析”。21世纪在这一领域肯定会有令人激动的新发展。

重新定义无穷小概念的第二次发展发生在20世纪70年代，当时出现了综合微分几何(synthetic differential geometry)，也称为光滑无穷小分析(smooth infinitesimal analysis)。

非标准和光滑无穷小分析的发展为无穷小的概念注入了新的活力，特别是光滑无穷小分析为连续统的本质提供了新的见解。

3.光滑无穷小分析

（1）无穷小的数学模型

在现代数学中，无穷小的概念不是主流。取而代之的是，幂零无穷小的概念被引入到其他的数学框架中，例如综合微分几何(SIA)，幂零无穷小是非常小的非零数字，它们的平方是0。欧拉无穷小，当用现代数学概念解释时，仍然是不同元素的流畅优美的多样化组合。

①标准分析

在标准分析中，无穷小是绝对值小于所有正实数的大于零的数。它们是无穷小的数，用于通过区分标准和非标准成分来研究数学性质。在19世纪，通过摒弃无穷小和用极限定义导数，没有无限小的量被使用。相反，随着测量之间的时间间隔变得越来越小(但不是零)，像瞬时速度这样的量由有限比率的极限来定义。德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯将微积分中的极限和连续性变成了标准形式，通常被称为ε-δ方法，这是根据习惯上在极限定义中使用的两个希腊字母命名的。

②非标准分析

非标准分析(NSA)由 Abraham Robinson 提出，是实数的非阿基米德扩展的数学上稳健结构，称为超实数。它包括无穷小元素和无限元素。非标准分析允许直接定义导数和积分；无穷小是小于任何非零实数但仍非零的量，是非标准分析中的一个关键概念；该框架扩展了传统微积分，并为莱布尼茨等数学家非正式使用的概念提供了严格的基础。它正式确定了无穷小对象的使用，并且可以容纳无穷小和无限大的数量。

NSA 的基本方法涉及构建一种一阶逻辑数学语言，以反映给定数学结构的相关方面，为微积分中的极限和连续性的标准ε-δ方法提供了一种激进的替代方法。它引入了一种新的数字系统，并用于概率论和相关领域。虽然 NSA 不是一个标准的研究领域，但在某些领域已被用作强大的工具。

在NSA中，无穷小具有不同于实数的性质。迁移原理指出，在标准分析中为真的陈述，在NSA中有等价的为真的陈述。无穷小用于构造非标准微积分中的导数和积分。

③光滑无穷小分析

除非标准分析外，还有另一种基于幂零无穷小的选择。它通常被称为光滑无穷小分析(smooth infinitesimal analysis)。光滑无穷小分析(SIA)是微积分的一种替代方法。SIA引入了幂零方和幂零无穷小。SIA为微分几何提供了比标准方法更直观的几何方法。

光滑无穷小分析(SIA)和非标准分析(NSA)是两种不同的代数微积分方法。NSA使用一种称为“取标准部分”的技术来忽略推导结束时的增量(或无穷小)项，而SIA使用幂零方规则来忽略推导过程中的高阶增量项。SIA非常接近理论物理学家处理无穷小量的方式。

（2）光滑无穷小分析

光滑无穷小分析是一个数学概念，它为经典的连续统集合论概念提供了另一种选择。它来自综合微分几何，强调连续性。在光滑无穷小分析(SIA)中，无穷小是一个其平方为零的量。它表示函数值从一点到另一点的微小变化或增量。

光滑无穷小分析(SIA)是二十世纪数学的一个显著发展。它介绍了幂零方和幂零无穷小，恢复了大量科学上可应用的经典分析。与占主导地位的经典(集合论)概念相比，SIA是一个非点状的连续统概念。

美国数学家F. W. Lawvere(1937–2023)被认为是现代高等数学领域最伟大的梦想家之一，他以一种完全原创的方式彻底改变了我们对通用代数的理解。他与各种合作者一起，通过包括拓扑理论发展在内的影响深远的计划来统一范畴论和数理逻辑，致力于通过强化范畴理论的工具来统一和简化数学，以其在范畴论、拓扑理论和数学哲学方面的工作而闻名。

基于F. W. Lawvere的思想，并采用范畴论的方法，为光滑无穷小分析提供了一个世界的图像，其中连续是一个自治的概念，不能用离散来解释。它为数学分析提供了一个严格的框架，其中空间之间的每个函数都是光滑的(即，可任意多次微分，因此特别是连续的)，并且其中在定义微积分的基本概念时使用的极限被幂零无穷小所取代，即，数量小到(但实际上不是零)以至于一些幂(最有用的是平方)消失。平滑无穷小分析以曲线的无穷小切向量的形式体现了密集量的概念。

在某个点处曲线的切线向量P上面是一条短的直线段l穿过点并沿曲线指向。事实上，我们可以采取l 实际上是曲线的无限小部分。光滑无穷小分析中的曲线是“局部是直的”,因此可以认为是由德洛必达（de L’Hôpital）意义上的无穷小直线“组成”,或由无穷小切向量“生成”。

关于光滑无穷小分析的概述见图109、110、111、112。

图 109

图 110

图 111

图 112

最后，简单说说SIA的模型。这些是所谓的光滑拓扑、范畴论的某种类型，其中所有通常的数学运算可以执行，但其内部逻辑是直观的，其中空间之间的每个映射是光滑的，也就是说，可以无限制地微分。正是这种“普遍的平滑性”使得无限小的物体的存在成为可能，如Δ。光滑拓扑的构造(Moerdijk & Reyes 1991)保证了SIA与直觉逻辑的一致性。尽管 SIA 与经典逻辑不一致的事实很明显，但情况确实如此。

（二）无穷小的悖论(the paradox of the infinitesimal)

1.橡胶绳上的蚂蚁悖论（the Ant on a rubber rope paradox）

橡胶绳上的蚂蚁是一个数学难题，它的解决方案似乎违反直觉或自相矛盾。有时，它被当作一条虫子，绑在橡皮筋上，但这个谜题的原理是一样的。

一只蚂蚁以每秒1厘米的速度(相对于它正在爬行的橡胶绳)开始沿着1公里长的绷紧的橡胶绳爬行。与此同时，绳子开始以每秒1公里的恒定速度均匀拉伸，这样1秒后是2公里长，2秒后是3公里长，以此类推。蚂蚁会到达绳子的尽头吗（图113）？

图 113

问题的正式陈述：

考虑一根细长且可无限拉伸的橡胶绳，沿x轴拉紧，起点标记为x=0，目标点标记为x=c，c＞0；

在时间t=0时，绳索开始均匀平滑地拉伸，使得起点在x=0时保持静止，而目标点以恒定速度v＞0远离起点；

一只小蚂蚁在t=0时离开起点，相对于蚂蚁在每一时刻所在的绳子上的点，以恒定的速度α＞ 0沿着绳子平稳地向目标点走去。

蚂蚁会到达目标点吗？

（1）离散数学解决方案

考虑一种变化，其中绳子在每秒之前突然瞬间拉伸，使得目标点在时间t=0时从x=c移动到x=c+v，并且在时间t=1时从x=c+v移动到x=c+2v，等等。该问题的许多版本在每秒结束时拉伸绳子，但通过在每秒之前拉伸绳子，我们在蚂蚁的目标中处于不利地位，因此我们可以确定，如果蚂蚁可以在这个变体中到达目标点，那么它肯定可以在原始问题中，或者实际上在绳子在每秒结束时拉伸的变体中。

该解决方案是利用离散数学方法（图114）。

图 114

（2）解析解

解决方案（1）可用于获得所需时间的上限，但不能给出所需时间的精确答案。要求出所需的时间唯有用数学分析方法（图115）

图 115

（3）结论

乍一看，蚂蚁似乎永远也到不了绳子的尽头，但事实上它做到了。按照解决方案（2），需要8.9×10^43421(年)。不管绳子的长度以及蚂蚁和拉伸的相对速度如何，只要蚂蚁的速度和拉伸保持稳定，只要有足够的时间，蚂蚁总是能够到达终点。一旦蚂蚁开始移动，橡胶绳就会在蚂蚁的前面和后面拉伸，保持蚂蚁已经走过的绳子的比例，使蚂蚁能够继续前进。

（4）空间的度量扩展

这个难题关系到这样一个问题：在空间的度量膨胀下，来自遥远星系的光是否能够到达我们这里。宇宙在膨胀，这导致与其他星系的距离越来越大，距离我们足够远的星系会有明显的大于光速的相对运动。离开如此遥远星系的光似乎永远无法到达我们这里。

通过将光的光子想象成沿着银河系和我们之间的空间橡胶绳爬行的蚂蚁，我们可以看到，正如蚂蚁最终可以到达绳子的末端一样，来自遥远星系的光，甚至一些看起来以大于光速的速度后退的光，最终也可以到达地球，只要有足够的时间。

然而，空间的度量膨胀正在加速。橡皮绳上的蚂蚁，其膨胀时间随时间增加，不能保证到达终点。因此，来自足够遥远的星系的光可能仍然无法到达地球。

2.伯克利悖论（Berkeley paradox）

伯克利(又译作“贝克莱”)关于无穷小量的悖论质疑了微积分中的无穷小量是否真的为零，因为它们在牛顿和莱布尼茨的方法中有时为零，有时是非零(图116)。伯克利在 1696 年的 L'Hopital 版本中批评了莱布尼茨的无穷小微积分。

图 116

17世纪后期，英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨独立创造了微积分，成为解决许多问题的重要而有力的工具，并在实际应用中取得了巨大的成功，然而，在微积分诞生之初，并不是所有人都拍手称快，当时它还遭到了很多人的强烈攻击和指责，原因是微积分主要是建立在无穷小分析的基础上，而无穷小后来被证明含有逻辑矛盾。

1734年，英国大主教乔治·伯克利以“小哲学家”的名义出版了一本名为《分析者:或一篇给无神论数学家的论文》的长文。在这本书中，伯克利抨击了牛顿的理论。因为牛顿理论中的无穷小量，一会儿说是零，一会儿说不是零。于是，伯克利嘲笑无穷小量是“死人的幻影”。

一般来说，伯克利悖论可以表述为无穷小量是否为零的问题：就无穷小量的实际应用而言，它必须既是0又不是0。但在形式逻辑中，这是一个矛盾。

对于无穷小所带来的数学本身的非逻辑性和非严谨性的问题，那些一直从事微积分研究的数学家们早就有这样或那样的思考，他们之间也开始了激烈的讨论和争论。从数学的角度来看，如何很好地理解这个问题可能被视为一个纯粹的技术问题。

无论是牛顿，还是莱布尼茨创立的微积分理论，都不是严格的。这两种理论都是建立在无穷小分析的基础上的，但对基本概念无穷小的理解和使用却是混乱的。因此，微积分从诞生起就遭到了一些人的反对和攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教伯克利，“无穷小是否为零”的问题所引发的第二次数学危机称之为伯克利悖论。

直到19世纪20年代，一些数学家开始更加重视微积分的严格基础。他们从波尔扎诺、阿贝尔、柯西、狄利克雷等人的工作开始，最终由维尔斯特拉斯、理查德·戴德金和康托尔完成，并在过去半个世纪的中期，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。

波尔扎诺不仅承认无穷小数和无穷数的存在，而且给出了连续性的正确定义；柯西掌握了极限的概念，指出无穷不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；阿贝尔指出，级数和求和的滥用应该受到严格限制；黛博拉给出了函数的现代定义。

在这些数学工作的基础上，维尔斯特拉斯消除了地方的不确定性，对一般ε-δ的极限进行了连续定义，并将导数、积分等概念严格地建立在极限的基础上，从而克服了危机和矛盾。

19世纪70年代初，维尔斯特拉斯、理查德·戴德金和康托尔独立地建立了实数理论，并以实数理论为基础，建立了极限论的基本定理，从而使数学分析最终建立在实数理论的严格基础上。