确定系统耗散的新准则：耗散功率

A New Criterion Beyond Divergence for Determining the Dissipation of a System: Dissipative Power

https://www.frontiersin.org/journals/physics/articles/10.3389/fphy.2021.695489/full

摘要

散度通常用于确定动力系统的耗散性，但一些研究者注意到它可能会导致一些难以捉摸的矛盾。本文提出了一种超越散度的判断系统耗散性的准则——耗散功率，该准则基于经典力学知识和Ao提出的一种新颖的动态结构。此外，本文还推导了耗散功率与势函数（或称Lyapunov函数）之间的关系，揭示了动力系统中一个非常有趣、重要且新颖的特征：根据“能量函数”或“哈密顿量”的变化来分类动力学系统是耗散的还是保守的，而不是根据相空间体积的变化。我们从两个简单的例子开始，分别对应平面动力系统中的两类吸引子：固定点和极限环。在用散度判断耗散性时，这两个系统既存在研究者指出的矛盾，也有我们注意到的新问题。随后，我们在这两个例子中分析和比较了这两种准则，并进一步考虑了系数矩阵为四种Jordan标准型的平面线性系统，发现当散度出现矛盾时，耗散功率仍然有效。此外，我们还分析了另一个非线性系统，以比较这两种准则。最后，耗散功率与Lyapunov函数之间的关系为解释为什么一些研究者认为Lyapunov函数与极限环不能共存提供了合理的解释。这些结果可能为理解动力系统的耗散性提供了更深入的认识。

关键词：耗散性、散度、耗散功率、鞍点、极限环、Lyapunov函数

1 引言

对于一个确定性动力系统，

它可以被划分为保守系统或耗散系统。通常，研究者使用以下准则——散度，通过系统在相空间中的相体积是否随时间演化而收缩来判断系统的耗散性：

准则1（散度 [1–4]）：向量场 f(x) 的散度衡量了在 f(x) 的流下体积变化的快慢，其定义如下：

尽管关于散度的研究有很多 [5–7]，但必须提到的是，对于这样一个重要的概念，一些研究者已经注意到，在用它判断系统的耗散性时会出现一些难以捉摸的矛盾。例如，Chen [8] 指出，对于通过散度判断为耗散的系统，并不一定在相空间的每一点都成立。Thompson 和 Stewart [4] 观察到，Van der Pol 类型的系统是耗散的，然而其相空间可能存在散度为正的区域。

在本文中，我们仅考虑平面动力系统。众所周知，平面动力系统中有两类吸引子：固定点和极限环。直接分析散度准则为何不严谨甚至不可能是一个复杂的问题，而具体的例子是说明问题的一种简单而有效的方式。在这里，我们给出两个平面系统示例，分别对应这两类吸引子，以揭示通过相空间体积变化定义的散度并不是判断系统耗散性的充分必要条件。

线性系统：以下是一个线性系统 [9]：

该系统具有一个鞍点，且散度等于零。根据散度（公式2），系统（公式3）是保守的。然而，我们发现了一个有趣的现象：这个散度为零的平面线性鞍点系统，实际上不仅可以被判断为保守系统，还可以被判断为耗散系统。一方面，根据Liouville定理 [10]，它是一个保守系统；另一方面，结合Borrelli和Coleman的定理 [11]（保守系统没有吸引子和排斥子）以及Sachdev的陈述 [12]（排斥子对应于不稳定的平衡点或鞍点），它又是耗散的。

非线性系统：以下是另一个系统 [13]：

当，这引入了与Thompson和Stewart提到的类似的矛盾。此外，我们还注意到散度带来的另一个矛盾：在极限环中，系统由于负散度而被判断为耗散系统，系统的能量最终应减少到零并停止运动。然而，事实上，系统可以在极限环中无限运动。

因此，找到一个合适的方法或新准则，能够合理解释并分析上述问题和矛盾，是一个核心问题。是否存在这样的方法？基于本文的研究，答案是肯定的：耗散功率。

本文的结构如下：在第2节中，介绍了一种新的判断系统耗散性的准则——耗散功率。在第3节中，我们通过示例（公式3、4）比较了新准则与散度。此外，我们推导了与平面线性系统对应的四种Jordan矩阵的所有结果，并考虑了文献[5]中的另一个非线性系统，验证了耗散功率与Lyapunov函数之间的关系。结论和讨论在第4节中展示。

2 一种新的耗散准则：耗散功率

本节介绍了一种新的耗散准则——耗散功率，其基于经典力学知识[14]以及Ao提出的一种新颖的动态结构[15–17]。

Ao从力学的角度发现了一种新颖的框架，将系统（公式1）分为三个部分：

从功和能量的角度来看，力可以分为保守力和非保守力。利用非保守力（如摩擦力）消耗能量的特性，我们将Ao的动态结构与经典力学知识[14]结合，推导出以下判断系统耗散性的准则：耗散功率，记作。

准则2（耗散功率）：耗散性可以通过摩擦力的耗散功率来定义，其表达式如下：

公式15的物理意义非常明显：沿系统轨迹的“能量函数”减少意味着耗散，而没有变化则意味着没有耗散。因此，我们可以得出结论：这种耗散准则根据“能量函数”或“哈密顿量”的变化将动力学分类为耗散或保守。

3 分析与解答

在本节中，我们使用新的耗散准则来判断示例（公式3、4）的耗散性，并与散度的结果进行比较。此外，我们还考虑了以四种Jordan矩阵为系数矩阵的平面线性系统，并分析了文献[5]中的另一个非线性系统，以比较这两种准则。

3.1 平面线性系统

我们首先考虑平面线性系统，并将结果总结为两个表格。

系统（公式1）的线性形式可以写成如下：

Kwon、Ao和Thouless [20] 已经讨论了线性系统的Lyapunov函数的构造。以下给出了一些必要的公式：

显然，系统（公式29）是一个梯度系统，且是耗散的。

这里，公式26和29表明系统（公式3）是一个耗散系统，这与结合文献[11, 12]得到的结果一致。然而，无法得出这一结论。

广义哈密顿系统：

显然，系统（公式35）是一个哈密顿系统（公式8），且是保守的。

这里，公式32和33表明系统（公式3）同时也是保守的。另一方面，系统（公式3）可以重写为哈密顿系统，这与Liouville定理[10]得到的结果一致。

类似地，我们可以得到与四种Jordan矩阵对应的系统的所有结果，详细信息见补充材料，并将其总结在表2中。结合表1和表2，我们得出以下结论：

3.2 平面非线性系统及其在极限环上的运动

基于从物理角度研究动力系统的工作[16, 18]，我们将进一步分析和解释极限环中的运动。为了完整性，该过程在公式4中给出。

对于电磁场中的带电无质量粒子，其运动牛顿方程如下：

公式43表明，具有极限环的系统（公式4）是耗散的，而在极限环内是保守的。这不仅与Borrelli和Coleman的定理[11]没有矛盾，也不会遇到Thompson和Stewart[4]提到的问题。此外，通过 判断极限环内的耗散性会面临我们注意到的矛盾，但耗散功率则不会。

通过公式41和43，我们可以验证：

最后，我们可以分析带电粒子在极限环中的运动，其过程如下：

综上所述，极限环是一条等势线，在“洛伦兹力”的作用下，带电粒子可以在其中无限运动，且摩擦力为零，因此没有耗散。这里的等势线是系统（公式4）的单位环，因此粒子做圆周运动。

由此我们可以得出结论：当使用散度判断具有极限环的系统的耗散性时，会出现矛盾，并且无法解释极限环中的无限运动。然而，使用耗散功率时，不仅不会出现矛盾，还能给出合理的分析和解释。

此外，我们在另一个非线性系统中分析和比较了这两种准则。

3.3 非线性系统中两种耗散准则的分析与比较

最后，公式56和59可以一致地推导出系统（公式48）是耗散的，这与文献[5]中得到的结果一致。

4 结论与讨论

4.1 结论

我们的研究结果表明，教科书中常用的定义——散度，既不是“耗散性”的充分条件，也不是必要条件。动力系统中出现了一个非常有趣、重要且新颖的特征：根据“能量函数”或“哈密顿量”的变化将动力学分类为耗散或保守，而不是根据相空间体积的变化。具体细节如下：

对于散度为零的平面线性鞍点系统示例，通过耗散功率，可以判断其不仅是保守的，还可以是耗散的。然而，散度仅反映了一种情况。此外，我们推导了与四种Jordan标准型对应的平面线性系统的所有结果，并发现当散度表现出片面性或没有耗散定义时，耗散功率始终有效。

对于具有极限环的平面非线性系统（公式4），我们得出以下结论：

1. 公式43表明，系统（公式4）是耗散的，但在极限环内是保守的，这与Borrelli和Coleman的定理[11]没有矛盾，也不会遇到Thompson和Stewart[4]提到的问题。

2. 对于这两种耗散准则，只有耗散功率能够解释极限环中无限重复运动的耗散意义：在系统（公式4）的极限环中，耗散功率表明系统是保守的。因此，轨迹可以在极限环中无限运动而不耗散。具体来说，在极限环中，摩擦力，势函数的值，这表明极限环是一条等势环，电场力做功为零，而洛伦兹力处处垂直于运动方向且不做功。因此，带电粒子可以在电磁场中的等势线上无限运动。

此外，我们还分析了文献[5]中的另一个非线性平面系统，并比较了这两种准则，得出了它们一致的结果。

- 我们得到了Lyapunov函数与耗散功率之间的关系：Lyapunov函数沿轨迹的减少等于耗散功率，即。其物理意义非常明显：沿系统轨迹的“能量函数”减少意味着耗散，而没有变化则意味着没有耗散。

尽管我们目前的工作仅考虑了平面动力系统的耗散性，但我们有信心在不久的将来解决高维动力系统的耗散性问题，因为吸引子可以从几何上分类（见Wolfram [23]）：固定点、极限环和混沌。基于Ao提出的新颖动态结构，Ao等人已经在这三类吸引子（如固定点[20]、极限环[24–26]和混沌[27]）方面取得了许多重要成果。

4.2 讨论

通过耗散功率与Lyapunov函数之间的关系，我们将从系统耗散的角度结合这两种准则，分析为什么一些研究者认为极限环系统中不存在Lyapunov函数（如[1, 19, 28]）。正如我们指出的，散度在极限环中存在矛盾现象，如果我们忽略这一点并继续通过散度判断极限环中的耗散性，我们会认为系统（如公式4）在极限环中是耗散的。那么，系统的能量最终应减少到零并停止运动。这意味着极限环中沿轨迹的势函数（或称Lyapunov函数）的导数应小于零，系统的能量随时间减少直至为零，因此系统不可能一直处于极限环中。另一方面，公式42中当可能是导致研究者认为极限环系统不存在或无法构造Lyapunov函数的另一个原因。这可能为一些研究者认为Lyapunov函数与极限环不能共存提供了一种解释。

原文链接：https://www.frontiersin.org/journals/physics/articles/10.3389/fphy.2021.695489/full